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Salut, je viens de voir ton post. Je doute fort bien que c'est un exercice de CPGE, il paraît qu'il de niveau Bac si je ne me trompe pas. De toute façon, je donne quelques indications, sachant que je ne suis qu'en Bac, donc pas très sûre de la réponse:
On pose f(x)=exp(x)-cosx
On a:
*f est continue sur l'intervalle [0,x] ( x compris entre 0 et 1)
* f est dérivable sur ]0,x[ (même condition sur x selon l'énoncé).
Donc, selon le TAF:
* il existe un c de ]0,x[ qui vérifie: f(x)-f(0)= x*f'(c)
c-à-d il existe c de ]0,x[ : f(x)= x*f'(c) (f(0)=0)
et tant que ]0,x[ est inclue dans ]0,1[
donc il existe c de ]0,1[: f(x)=x*f'(c)
on a f'(c)= exp(c) +sinc
après un encadrement (prenant en compte expc appartient à ]1,e[ et sinc à ]0,1[) on a:
f'(c) appartient à ]1,e+1[ ce qui implique f'(c) appartient à ]1,4[ (e+1 est inférieur à 4). En multipliant les deux côtés par x qui est strictement positif, on a le résultat voulu. J'espère que c'est correct. Bonne journée
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Merci le-hasard il parait que c'est correcte .
mais moi j'ai essayer de résoudre cette question voila ce que j'ai obtenu :
f(x)=exp(x)-cosx
f'(x)=exp(x)+sinx
f"(x)=exp(x)+cosx
proposons une fonction g(x)=f'(x)=exp(x)+sinx sa dérivée
g'(x)=exp(x)+cosx
étude de la variation de g:
exp(x) est strictement positive pour chaque x de R(+*) donc c'est valable pour chaque x de [0,1].
sur [0,1] cosx est décroissante donc cos1<cosx<cos0 0.54<cosx<1 donc cosx est strictement positive sur [0,1]
conclusion : exp(x)+cosx>0 ce qui implique g(x) est croissante
donc: g(0)<g(x)<g(1) c à d : 1<f'(x)<3.55
alors:
sur l'intervalle [x,1]: exp(x)-cosx-exp(1)+cos1 < 3.55(x-1)
exp(x)-cosx <3.55x-3.55+2.17
exp(x)-cosx<3.55x-1.38
or 3.55x-1.38-4x=-(045x+1.38)<0 puisque x appartient a [0,1]
donc exp(x)-cosx < 3.55x-1.38 <4x (INEgalitéA)
sur l'intervalle [0,1]: exp(x)-cosx-exp(0)+cos0>1(x-0)
exp(x)-cosx >x INEgalitéB
{cos0-exp(0)=1-1=0}
Conclusion:
à partir de L'INEgalitéA et L'INEgalitéB on peut conclure que :
x<exp(x)-cosx<4x
est ce que c'est correcte?
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Salam, d'après ce que je pense, c'est correct même si ta solution repose trop sur les calculs, c'est-à-dire on peut pas la faire sans avoir recours à une calculatrice, de toute manière c'est pas le point, elle est très correcte. Juste une remarque quand tu es arrivé à: "1<f'(x)<3.55" tu aurais dû utiliser le TAF directement ou IAF (inégalités des accroissements finis) sur l'intervalle [x,1] sans recourir à cette disjonction de cas (travailler sur chaque côté de l'inégalité à part) qui fait perdre trop de temps surtout s'il s'agit d'un DS par exemple, ça te coûterai environ 5mn de plus. Le reste je n'ai rien à dire, c'est exact. Bonne chance, et à très bientôt avec d'autres exos, le forum en manque vraiment.
NB: je voulais juste te dire qu'il n'y a pas une seule formule pour le TAF, il existe cette version, j'espère que ça te fera économiser du temps:
soit f une fonction continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[. s'il existe m et de vérifiant pour tout x de ]a,b[ f'(x) appartient à [m,M] on a: (f(b)-f(a)) appartient à [m(b-a),M(b-a)]. (c'est issu de notre programme de Bac en guise d'éclaircissement)
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